题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在直角梯形中, ,
把△沿对角线折起后如图2所示(点记为点), 点在平面上的正投影 落在线段上, 连接.
(1) 求直线与平面所成的角的大小;
(2)   求二面角的大小的余弦值.

图1                            图2

答案

（1）（2）

解析

(1) 解:在图4中,
∵     
∴, , .
∵,
∴△为等边三角形.                            
∴.            …2分
在图5中,
∵点为点在平面上的正投影,
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,                                              
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∴为直线与平面所成的角.   …4分
在Rt△中, ,
∴.   
∵,
∴.
∴直线与平面所成的角为.       …6分           
(2) 解:取的中点, 连接,.
∵ ,
∴ .
∵平面,平面,
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.
∵平面,
∴.
∴为二面角的平面角.                                …8分
在Rt△中,,
∴,.
在Rt△中,.
在Rt△中，.
∴二面角的大小的余弦值为.                              …12分
方法二:
解:在图4中,
∵
    
∴, , .
∵,
∴△为等边三角形.                            
∴.            …2分
在图5中,
∵点为点在平面上的射影,                            图4

∴平面.
∵平面,
∴.
∵,                                              
∴.
∵平面, 平面,
∴平面.                         …4分
连接,
在Rt△和Rt△中,,
∴Rt△Rt△.
∴.
∴.
∴.
在Rt△中，.
∴.
在Rt△中，.                            …6分
以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空  
间直角坐标系,则,,,,
.
∴,,,.    
(1)∵,
∴.
∴直线与平面所成的角为.                                   …9分           
(2) 设平面的法向量为n,
由  得
令, 得,.
∴n为平面的一个法向量.                           
∵为平面的一个法向量,
∴.
∵二面角的平面角为锐角,
∴二面角的平面角的余弦值为.           …12分