题目

题型：不详难度：来源：

已知长方体ABCD—A₁B₁C_lD₁内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA₁的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为

A．8

B．16:

C．14

D．18

答案

B.

解析

试题分析：∵长方体ABCD—A₁B₁C_lD₁内接于球O，∴球心O是A中点。
∵ABCD是边长为2的正方形，∴BD=2 ，
设BD中点为O‘，连接OO"
∴OO"⊥平面ABCD
∵E为A 的中点，
∴AE//OO"， AE=OO"
∴AO"OE为矩形
∵OA垂直平面BDE
∴OA⊥EO"
∴AO"OE为正方形
∴AO= AO"=2
即球O的半径R=2
∴球O面积4πR²=16π，故选B。

点评：中档题，首先认定球心O是A中点，围绕球半径的计算，构造出现直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解。