如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<),连接MN.(1)证明对 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点M在AD₁上移动,点N在BD上移动,D₁M=DN=a(0<a<

),连接MN.

(1)证明对任意a∈(0,

),总有MN∥平面DCC₁D₁.
(2)当a为何值时,MN的长最小?

答案

(1)见解析 (2) 当a=

时,MN的长有最小值

解析

(1)作MP∥AD,交DD₁于P,作NQ∥BC,交DC于Q,连接PQ.

由题意得MP∥NQ,且MP=NQ,
则四边形MNQP为平行四边形.
∴MN∥PQ.
又PQ⊂平面DCC₁D₁,MN⊄平面DCC₁D₁,
∴MN∥平面DCC₁D₁.
(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,
∴MN=PQ,
由已知D₁M=DN=a,DD₁=AD=DC=1,
∴AD₁=BD=

,
∴D₁P∶1=a∶

,DQ∶1=a∶

,
即D₁P=DQ=

.
∴MN=PQ=

(0<a<

),
故当a=

时,MN的长有最小值

.
即当M,N分别移动到AD₁,BD的中点时,MN的长最小,此时MN的长为

核心考点

试题【如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<),连接MN.(1)证明对】；主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]

举一反三

设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是(　　)
①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;
②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.

A．1

B．2

C．3

D．4

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对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是(　　)

A．m⊥n,m∥α,n∥β	B．m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C．m∥n,n⊥β,m⊂α	D．m∥n,m⊥α,n⊥β

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设α,β表示两个不同平面,l,m表示两条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m,l⊂α,m⊂β,则α⊥β

B．若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m

C．若l∥m,l⊂α,m⊥β,则α∥β

D．若l⊥α,m⊥β,α∥β,则l∥m

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已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有(　　)

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

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已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则(　　)

A．n⊥β	B．n∥β
C．n⊥α	D．n∥α或n⊂α

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