题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，
(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF；
(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值．

答案

(Ⅰ)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角，
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD，
在Rt△CDE中，CD=1，，
故，
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为。
(Ⅱ)证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BCA=∠CDA=45°，
由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB，
又CD⊥FA，FA∩AB=A，
所以CD⊥平面ABF。
(Ⅲ)由(Ⅱ)及已知，可得AG=，即G为AD的中点，
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF，
过点N作NM⊥EF，交BC于M，
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角，
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，
从而BC⊥GM，由已知，可得，
由NG∥FA，FA⊥GM，得NC⊥CM，
在Rt△NGM中，，
所以二面角B-EF-A的正切值为。