题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角E-AB-C的大小。

答案

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD
因为OB=OC，
则OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD
过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，
OH的长就是所求的距离
又BC=2，OD==，
又OA⊥OB，OA⊥OC
 ∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD
AD==，在
直角三角形OAD中，有OH=。
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM//AC，
∠BEM是异面直线BE与AC所成的角，
易求得EM=，BE=，BM=
由余弦定理可求得cos∠BEM=，
∴∠BEM=arccos。
（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF
由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，
又OH⊥面ABC，
所以CF⊥AB，EF⊥AB，
则∠EFC就是所求的二面角的平面角
作EG⊥CF于G，则EG=OH=，
在Rt△OAB中，OF=
在Rt△OEF中，EF=
 ∴sin∠EFG=
∠EFG=arcsin。