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题目
题型:不详难度:来源:
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=
1
2
AA1,∠BAC=90°,D为棱BB1的中点
(Ⅰ)求异面直线C1D与A1C所成的角;
(Ⅱ)求证:平面A1DC⊥平面ADC.
答案
解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a,
则A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)(2分)
于是


C1D
=(a,-a,-a),


A1C
=(0,a,-2a)
∵cos<


C1D


A1C
>=


C1D


A1C
|


C1D
||


A1C
|
=
0-a2+2a2


3
a•


5
a
=


15
15
,(6分)
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos


15
15
(7分)
(Ⅱ)∵


A1D
=(a,0,-a),


AC
=(0,a,0),


A1D


AD
=a2+0-a2=0,


A1D


AC
=0(10分)


A1D


AD


A1D


AC

∴A1D⊥平面ACD(12分)
又A1D⊂平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)
解法二:
(Ⅰ)连接AC1交A1C于点E,取AD中点F,连接EF,则EFC1D
∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角(2分)
设AB=a,
则C1D=


C1B12+B1D2
=


3
a,
A1C=


AC2+AA12
=


5
a,AD=


AB2+BD2
=


2
a.
△CEF中,CE=
1
2
A1C=


5
2
a,EF=
1
2
C1D=


3
2
a,
直三棱柱中,∠BAC=90°,则AD⊥AC(4分)
CF=


AC2+AF2
=


a2+(


2
a
2
)
2
=


6
2
a(4分)
∵cos∠CEF=
CE2+EF2-CF2
2CE•EF
=
5
4
a2+
3
4
a2-
3
2
a2
2•


5
2
a•


3
2
a
=


15
15
,(6分)
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos


15
15
(7分)
(Ⅱ)直三棱柱中,∠BAC=90°,∴AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥A1D(9分)
又AD=


2
a,A1D=


2
a,AA1=2a,
则AD2+A1D2=AA12,于是AD⊥A1D(12分)
∴A1D⊥平面ACD又A1D⊂平面A1CD,
∴平面A1DC⊥平面ADC(14分)
核心考点
试题【如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=12AA1,∠BAC=90°,D为棱BB1的中点(Ⅰ)求异面直线C1D与A1C所成的角;(Ⅱ)求证:平面A1D】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E是棱A1B1的中点.
(1)求异面直线A1B1与BD的距离;
(2)求直线EC1与BD所成角的大小.
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三棱柱ABC-A1B1
C1
中,AA1与AC、AB所成角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的余弦值为(  )
A.1B.-1C.


3
3
D.-


3
3
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三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )
A.


3
3
B.


6
6
C.


3
4
D.


3
6

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如图,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC,BD的交点,则C1O与A1D所成角余弦(  )
A.
1
2
B.0C.


3
6
D.


3
3
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