题目

题型：不详难度：来源：

（本小题12分）如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=.

（Ⅰ）求证:PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.

答案

（1）略
（2）二面角A－PB－D的大小为60°.

解析

（Ⅰ）证明:,
.……2分
又,……4分
∴  PD⊥面ABCD………6分
（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,
过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
∴AO⊥PB,
∵,
∴,从而,
故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分
∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵,   ∴,………………10分
 ∴ .
故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………12分
（也可用向量解）