题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
在如图所示的多面体中，⊥平面， ,，，
，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

答案

（1） 解法1

证明：∵平面，平面，
∴，                                
又，平面，
∴平面.     …………2分
过作交于，则平面.
∵平面，
∴.            …………4分
∵，∴四边形平行四边形，
∴，
∴，又，
∴四边形为正方形，
∴，                                        ……………6分
又平面，平面,
∴⊥平面.                            ………………………7分
∵平面,
∴.                             ………………………8分
（2）∵平面，平面
∴平面⊥平面
由（1）可知
∴⊥平面
∵平面
∴                              ……………………9分
取的中点，连结，
∵四边形是正方形，
∴
∵平面，平面
∴⊥平面
∴⊥
∴是二面角的平面角，   ………………………12分
由计算得
∴            ………………………13分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分
解法2
∵平面，平面，平面，
∴，，
又,
∴两两垂直.   ……………………2分
以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），
（2，2，0）.      …………………………4分
∴，，………6分
∴,    ………7分
∴.   …………………………8分
（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分
设平面的法向量为，
∵，
∴，即，令,得. ……………12分
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则  …………………………13分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.  …………………………14分

解析

略