题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面BDA₁⊥平面ACC₁A₁．

答案

（1）连结AB₁，交A₁B于点E，连结OE
∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，
∴E为AB₁的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB₁C的中位线，
∴DE∥B₁C，
∵DE⊂平面A₁BD，B₁C⊄平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD⊂平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．