题目

题型：不详难度：来源：

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D为棱CC₁上任意一点，E为BC中点，F为B₁C₁的中点，证明：
（1）A₁F∥平面ADE；
（2）平面ADE⊥平面BCC₁B₁．

答案

证明：（1）连接EF，∵E、F分别为BC、B₁C₁的中点，∴BE∥B₁F，且BE=B₁F，
∴四边形BEFB₁为平行四边形，
∴EF∥BB₁，EF=BB₁，又BB₁∥AA₁，BB₁=AA₁，
∴EF∥AA₁，EF=AA₁
∴四边形AEFA₁为平行四边形，∴AE∥A₁F，
又AE⊂平面ADE，A₁F⊄平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，又AE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁