题目

题型：模拟题难度：来源：

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。
（1）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值。

答案

解：如图建立空间直角坐标系，
（1）有条件知B（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），
由面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知，

∵
∴与不垂直，即AA₁与BC不垂直，
∴AA₁与平面A₁BC不垂直；
（2）由ACC₁A₁为平行四边形，
知，
设平面BB₁C₁C的法向量，
由得，即，
令，则y₁=0，z₁=，得，
另外，平面ABC的法向量=（0，0，1）

所以侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为。