题目
题型:不详难度:来源:
(I)求证:当N是BC边的中点时,MN∥平面PAC;
(Ⅱ)证明,无论N点在BC边上何处,都有PN⊥AM;
(Ⅲ)当BN等于何值时,PA与平面PDN所成角的大小为45°.
答案
证明:取AB的中点E,连接EN,
∵M是PB的中点,N是BC中点,∴ME∥PA,NE∥AC.
∵ME∩NE=E,PA∩AC=A,∴平面MNE∥平面PAC.
又MN⊂平面MNE,∴MN∥平面PAC…(4分)
(Ⅱ)证明:∵PA=AB=1,M是PB的中点,∴AM⊥PB.
又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC.
又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.
又AM⊂平面PAB,∴AM⊥BC.
∵PB∩BC=B
∴AM⊥平面PBC.
又PN⊂平面PBC,∴PN⊥AM.
所以无论N点在BC边的何处,都有PN⊥AM;…(8分)
(Ⅲ)分别以AD,AB,AP所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设BN=m,则A(0,0,0),D(2,0,0),B(0,1,0),C(2,1,0),N(m,1,0),P(0,0,1),
∴
PD |
PN |
PA |
设平面PDN的法向量为
n |
|
|
令x=1得y=2-m,z=2,则
n |
设PA与平面PDN所成的角为θ,则sinθ=|cos<
PA |
n |
2 | ||
|
∴
2 | ||
|
| ||
2 |
解得m=2-
3 |
3 |
∴m=2-
3 |
核心考点
试题【四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=2,点M是PB的中点,点N在BC边上移动.(I)求证:当N是BC边的中点时,】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
E是PC的中点.求证:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥β,β⊥γ,则α∥β;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n;
④若m⊥α,n⊥β,则α∥β.
其中真命题是( )
A.①和④ | B.①和③ | C.②和③ | D.②和④ |
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