题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小。

答案

解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，
∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA // 平面EDB 。（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，
∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴。 ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC，
∴。 ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC，
∴
又且，
所以PB⊥平面EFD。
（3）由（2）知，，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角。
由（2）知，。
设正方形ABCD的边长为a，则，
 ，，。
在中，。
在中，sin∠EFD=，
∴∠EFD=。
所以，二面角C-PB-D的大小为。