题目

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形。
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）作AH⊥面BCD于H，连DH
AB⊥BDHB⊥BD，
又AD=，BD=1
∴AB==BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC
∴AD⊥BC。（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，
因为AB=AC=BC=
∴M是AC的中点，且MN∥CD
则BM=，MN=CD=，BN=AD=，
由余弦定理可求得cos∠BMN=
∴∠BMN=arccos。
（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD
则EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，
则∠EDF=30°
设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=，
∴tan∠EDF===
解得x=，则CE=，x=1
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角。