题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD，
(Ⅰ)计算：多面体A′B′BAC的体积；
(Ⅱ)求证：A′C∥平面BDE；
(Ⅲ)求证：平面A′AC⊥平面BDE。

答案

解：(Ⅰ)多面体A′B′BAC是一个以A′B′BA为底，C为顶点的四棱锥，
由已知条件，知BC⊥平面A′B′BA，
∴； (Ⅱ)设AC交BD于M，连接ME，
∵ABCD为正方形，
∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C，
又∵ME平面BDE，A′C平面BDE，
∴A′C∥平面BDE。 (Ⅲ)∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴A′A⊥BD，
又AC∩A′A=A，
∴BD⊥平面A′AC，
∵BD平面BDE，
∴平面A′AC⊥平面BDE．