题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，已知等腰△ABC的底边BC=3，顶角A为120°，D是BC边上一点，且BD=1，把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，连接BC形成三棱锥C-ABD。
（1）①求证：AC⊥平面ABD；
②求三棱锥C-ABD的体积；
（2）求AC与平面BCD所成角的正弦值。

答案

解：（1）①由已知得，∠B=∠C=30°，AB=AC
在△ABD中，由BD=1，得

在△ACD中，∵AC²+AD²=4=CD²，
∴AC⊥AD
平面ADC⊥平面ABD，
∴AC⊥平面ABD。
②∵AC⊥平面ABD
∴
。

（2）由BD=1，得CD=2
在平面内作等腰△ABC底边上的高线AE，点E为垂足，
则
在三棱锥C-ABD中，连接CE，作AH⊥CE于点H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，
∴BD⊥平面ACE
∵AH平面ACE，
∴BD⊥AH，
∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直线AC与平面BCD所成的角
在Rt△ACE中，得
 ∴
即直线AC与平面BCE所成的角的正弦值为。