题目

题型：烟台三模难度：来源：

一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC．

答案

由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁
（Ⅰ）连接AC₁，AB₁．
由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，
则四边形ABB₁A₁为矩形．
由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M
在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN∥AC₁，
又AC_1^⊂平面ACC₁A₁，MN⊄平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁⊂平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
又因为BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC