题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC的中点，且DE∥BC.
(1)求证：DE∥平面ACD
(2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

答案

（1）略 ；(2)见解析；(3) AD与平面PAC所成角的正弦值为.

解析

本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．
（1）因为DE∥BC.可以推理证明DE∥平面ACD
（2）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；
（3）D为PB的中点，作出AD与平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可
解：（1）略 。。。。。。。。4分
(2)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.。。。。。。。。。9分
(3)∵D为PB的中点，DE∥BC，  ∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，   ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.
又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD＝AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，
即AD与平面PAC所成角的正弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。14分