题目
题型:湖北难度:来源:
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明.
答案
(Ⅰ)证明:如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC,
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,
所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC.
(Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角,即∠ACD=θ,∠ABA1=φ,
于是在Rt△ADC中,sinθ=
AD |
AC |
AD |
AB |
由AB<AC,得sinθ<sinφ,又0<θ,φ<
π |
2 |
解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AA1=a,AC=b,
AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(
b2-c2 |
于是
BC |
b2-c2 |
BA1 |
AC |
b2-c2 |
AA1 |
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
|
|
可取n=(0,-a,c),于是n•
AC |
AC |
n•
| ||
|n|•|
|
ac | ||
b
|
| ||||
|
|
c | ||
|
所以sinφ=
a | ||
|
于是由c<b,得
ac | ||
b
|
a | ||
|
即sinθ<sinφ,又0<θ,φ<
π |
2 |
核心考点
试题【如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1.(Ⅰ)求证:AB⊥BC;(Ⅱ)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.正方体 | B.正四棱柱 |
C.长方体 | D.直平行六面体 |
A.MN与CC1垂直 | B.MN与AC垂直 |
C.MN与BD平行 | D.MN与A1B1平行 |
A.
| B.2+
| C.4+
| D.
|
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