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题目
题型:不详难度:来源:
在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心
求证:(1)PH⊥底面ABC   (2)△ABC是锐角三角形.魔方格
答案
证明:(1)连接AH并延长交BC于一点E,连接PH,由于PA,PB,PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC,而BC⊂面PBC,∴BC⊥PA,又H是三角形ABC的垂心,故AE⊥BC,又AE∩PA=A,∴BC⊥面PAE,而PH⊂面PAE,∴PH⊥BC,同理可以证明PH⊥AC,又AC∩BC=C,∴PH⊥底面ABC.  
(2)设PA=a;PB=b;PC=c,则AB2=a2+b2,同理BC2=c2+b2,Ac2=a2+c2,在三角形ABC中,由余弦定理得:cosA=
AB 2+AC 2-BC 2
2AB×AC
=
a 2+b 2+a 2+c 2-c 2-b 2
2


a 2+b 2


a 2+c 2
=
a 2


a 2+b 2


a 2+c 2
>0
,同理可证cosB>0,cosC>0,所以,)△ABC是锐角三角形.
核心考点
试题【在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证:(1)PH⊥底面ABC   (2)△ABC是锐角三角形.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心,其中正确命题的命题是______.
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将一个直三棱柱分割成三个三棱锥,试将这三个三棱锥分离.
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下列三种叙述,其中正确的有
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台.
②两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台.
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是(  )
A.
3
2
π
B.
5
2
π
C.
7
2
π
D.
9
2
π
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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则过棱AA1和BC的中点P、Q的直线被球面截在球内的线段MN的长为(  )
A.2(


2
-1)
B.


2
C.
2


3
D.
1
2
魔方格
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