题目

题型：不详难度：来源：

在四面体ABCD中,AB=AD=,BC=CD=3,AC=,BD=2.
(1)平面ABD与平面BCD是否垂直？证明你的结论；（2）求二面角A-CD-B的正切值。

答案

（1）垂直；（2）二面角A-CD-B的正切值为。

解析

如图，（1）垂直。证明如下:设BD的中点为E，连AE，CE。
∵AB=AD∴AE⊥BD。同理CE⊥BD。
∴AE=，
∵AC=,∴AC²=AE²+CE²∴∠AEC=90°即AE⊥EC
∴AE⊥平面BCD∵AE平面ABD∴平面ABD⊥平面BCD
(2)作EF⊥CD于F，连结AF。∵AE⊥平面BCD∴AF⊥CD
∴∠AFE就是二面角A-CD-B的平面角，
∴即二面角A-CD-B的正切值为。