题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共13分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=
∠BAD=90°，为AB中点，F为PC中点.
（I）求证：PE⊥BC；
（II）求二面角C—PE—A的余弦值；
（III）若四棱锥P—ABCD的体积为4，求AF的长.

答案

（I）证明见解析。
（II）
（III）

解析

（I）
∴PA⊥BC


∴BC⊥平面PAB
又E是AB中点，
平面PAB
∴BC⊥PE.                                                                                     …………6分
（II）建立直角坐标系
则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

由（I）知，BC⊥平面PAE，
是平面PAE的法向量.
设平面PEC的法向量为
则


二面角C—PE—A的余弦值为                                             …………10分
（III）连结BC，设AB=a，

是直角三角形，
         …………13分