题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，与都是边长为2的正三角形，
平面平面，平面，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

答案

（1）（2）

解析

解法一：（1）等体积法．


取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．
又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距离相等．
作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．
求得OH=OC•=，
MH=．
设点到平面的距离为d，由得．
即，
解得．
（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，.
则所求二面角的正弦值为
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则
OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,则MO⊥平面.
取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.
（1）设是平面MBC的法向量，则,.
由得；
由得．
取．，则
．
（2），.
设平面ACM的法向量为，由得解得，，取.又平面BCD的法向量为.
所以，
设所求二面角为，则.