题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2.
（I）证明：AB₁⊥BC₁；
（II）求点B到平面AB₁C₁的距离；
（III）求二面角C₁—AB₁—A₁的大小．

答案

（I）证明见解析
（II）
（III）

解析

（法一）
（1）证：连B₁C      ∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC₁B₁  ∴B₁C为AB₁在面BCC₁B₁内的射影
又BC=BB₁ ="2"   ∴四边形BCC₁B₁为正方形
∴B₁C ⊥ BC₁   ∴AB₁⊥ BC₁   …………………………………………………4分
（2）∵BC∥B₁C₁ 
 ∴C到面AB₁C₁的距离即为B到面AB₁C₁的距离
∵平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁
又B₁C₁⊥A₁C₁ ∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁C₁⊥平面ACC₁A₁
连A₁C∩AC₁ ="O"
∵四边形ACC₁A₁为正方形  ∴CO⊥面AB₁C₁
∴CO即为所求 ∴CO= ∴B到面AB₁C₁的距离为 ………………………8分
（3）由（2）得 A₁O⊥面AB₁C₁ 
过O做OE⊥AB₁于E 连A₁E   由三垂线定理有A₁E⊥AB₁
∴∠A₁EO为二面角C₁-AB₁-A₁的平面角
又在Rt⊿A₁OE中，A₁O=   OE= 
∴tan∠A₁EO=     ∴∠A₁EO=
∴二面角C₁-AB₁-A₁的大小为       …………………………………………12分
（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，2，2），
C₁（0，0，2），因为，所以AB₁⊥BC₁. ……………4分 
（2）设是平面AB₁C₁的法向量，
由得
所以令，则，
因为，所以，B到平面AB₁C₁的距离为.……………8分
（3）设是平面A₁AB₁的法向量.由
 令=1，
则
因为所以，二面角C₁—AB₁—A₁的大小为60°…12分