题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分10分）
四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
边长为，PD=，PD⊥平面ABCD
（1）求证: AC⊥PB ；
（2）求二面角A－PB－D的大小；
（3）求四棱锥外接球的半径．
（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

答案

(1)证明
(2) A－PB－D的大小为60
(3)        
(4)球的最大半径为 

解析

(1)证明：连结BD，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC
∵PD∩BD="D  " ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB      ……………(4分)
(2)解：设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，在Rt△PAB中，
∵∴，
在Rt△AOE中，，∴∠AEO=60°
∴二面角A－PB－D的大小为60. ……………(8分)
(3)解：解：设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP="FB=FA=FC=FD   " ∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径   ∵FP=   ∴
∴四棱锥外接球的半径为                  ……………(12分)
(4) 设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R


∵

∴  ∴
∴球的最大半径为