题目

题型：不详难度：来源：

（本小题12分）
如图，已知为平行四边形，，，，点在上，，，与相交于．现将四边形沿折起，使点在平面上的射影恰在直线上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N—ABF的体积．

答案

（Ⅰ）平面
（Ⅱ）=
（Ⅲ）

解析

解：（Ⅰ），得面
则平面平面，
由平面平面,
则在平面上的射影在直线上,
又在平面上的射影在直线上,
则在平面上的射影即为点,
故平面．        --------4分
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=，DN=2，∴折后图中BD=3，BC=3
∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）
∴（-1，，0）（0，，-3）
∴=
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为                          -----9分
法二．在线段BC上取点M，使BM=BF，则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．
又MN=BF=2，DM=．
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
（Ⅲ）∵AD∥EF，  ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴
即所求三棱锥的体积为                              ------14分