题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值

答案

（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）

解析

（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分
因为平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分
又因为，为中点，
所以.             ……………3分
因为,
所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为中位线，
所以，           ………………6分
因为平面，平面，
所以平面.      ………………8分
(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.
设，则.
，                            ………………9分
设平面的法向量为，则有
，， ，
取，得.                                 ………………10分
又因为平面，所以平面的法向量为，………11分
，                         ………………12分
因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为.                 ………………13分