题目
题型:不详难度:来源:
已知梯形中,∥,,
,、分别是上的点,∥,,是的中点。沿将梯形翻折,使平面⊥平面 (如图) .
(Ⅰ)当时,求证: ;
(Ⅱ)以为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(Ⅲ)当取得最大值时,求钝二面角的余弦值.
答案
(-2,2,2),(2,2,0)(-2,2,2)(2,2,0)=0,
∴
(另解)作DH⊥EF于H,连BH,GH,由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,
BHDH=H,故EG⊥平面DBH,而BD平面DBH,∴ EG⊥BD。 4分
(2)∵AD∥面BFC,所以VA-BFC==4(4-x)x
即时有最大值为。 8分
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2),则 ,即,
取x=3,则y=2,z=1,∴ 面BCF的一个法向量为 则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-
(另解)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。又DH=2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=, 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,
故二面角D-BF-C的余弦值为-。 12分
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知梯形中,∥,,,、分别是上的点,∥,,是的中点。沿将梯形翻折,使平面⊥平面 (如图) .(Ⅰ)当时,求证: ; (Ⅱ)以为顶点的三棱锥的】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图5,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,
.
(1) 求证:平面;
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
图5
如图所示,在棱长为2的正方体中,、分别为、的
中点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
⑴证明:直线∥平面;
⑵判断平面和平面是否垂直,并证明你的结论.
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