题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知矩形中，为的中点，沿将三角形折起，使.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）取中点H，先证明垂直于平面,进而证明平面；（Ⅱ）建立直角坐标系，构造向量,平面的法向量，利用公式求解.
试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中，为的中点，
∴为等腰直角三角形，
∴,即.                （1分）
取中点H，连结，则，
在中，,
在中，又，
               （2分）
又                 （3分）
∴面，                   （4分）
而平面，                  （5分）
∴平面⊥平面.                 （6分）
（Ⅱ）解：分别以直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.
∴ （7分）
设平面的一个法向量为
由得
即令则，
取                       （9分）
设为直线与平面所成的角，
则               （11分）
即直线与平面所成角的正弦值为        （12分）