题目

题型：不详难度：来源：

（1）求（1+x+x²+x³）（1-x）⁷的展开式中x⁴的系数；
（2）求（x+

4

x

-4）⁴的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰的展开式中x³的系数．

答案

（1）原式=

1-x4

1-x

（1-x）⁷=（1-x⁴）（1-x）⁶，
展开式中x⁴的有两种情况，在（1-x⁴）中取（-x⁴），在（1-x）⁶中取1，或在（1-x⁴）中取（1），在（1-x）⁶中取x²，
其系数为（-1）⁴C₆⁴-1=14．
（2）（x+

4

x

-4）⁴=

(x2-4x+4)4

x4

=

(2-x)8

x4

，
要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）⁸中取得x⁴项，
故其原式的展开式中常数项为C₈⁴2⁴•（-1）4=1120．
（3）原式=

(1+x)3[(1+x)48-1]

(1+x)-1

=

(1+x)51-(1+x)3

x

；
要在展开式中取得x³项，必须在（1+x）⁵¹取得x⁴项，
故其原式的展开式中x³的系数为C₅₁⁴．