题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，sinB=

3

3

．
（Ⅰ）求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1-2sin²B．…（2分）
因为sinB=

3

3

，所以cosA=1-

2

3

=

1

3

．…（3分）
由题意可知，B∈(0，

π

2

)，所以cosB=

6

3

．…（5分）
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

5 3

9

．…（8分）
（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

因为

b

sinB

=

a

sinA

，b=2，所以

2

3 3

=

a

2 2 3

，所以a=

4 6

3

．…（10分）
由cosA=

1

3

可知，A∈(0，

π

2

)．
过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=

4 6

3

×

6

3

+2×

1

3

=

10

3

．…（12分）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

20 2

9

．…（13分）