题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由

答案

（I）海里/小时；（2）船会进入警戒水域

解析

（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=,求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．
（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
解:如图，AB=40，AC=10，
 
                ………2分
由于,所以cos=   ………4分
由余弦定理得BC=……6分
所以船的行驶速度为（海里/小时）    ………7分
（II）解法一  如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x₁=y₁= AB=40,      ………8分
x₂=ACcos,
y₂=ACsin         ………10分
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.        ………11分
又点E（0，-55）到直线l的距离d=              ………13分
所以船会进入警戒水域.               ………14分

解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于Q.
在△ABC中，由余弦定理得，

==.
从而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.