题目
题型:北京期中题难度:来源:
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)的最小值;
(III)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,),f(x)的导数
,
令,解得
;令
,解得
,
从而f(x)在单调递减,在
单调递增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,f(x)取得最小值
;
(Ⅲ)令,则
,
① 若a≤1,当x≥1时,,
故g(x)在上为增函数,
所以,x≥1时,,即
;
② 若a>1,方程的根为
,
此时,若,则
,故g(x)在该区间为减函数,
所以,时,
,即
,与题设
相矛盾,
综上,满足条件的a的取值范围是。
核心考点
试题【已知函数f(x)=xlnx。 (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)的最小值;(III)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围。 】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1) 当p=1时,f(x)≤λx恒成立,求实数λ的取值范围。
(2) 当p>0时,讨论函数f(x)的单调性。
(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2];
(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[ -1,1]。
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。
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