题目
题型:四川省月考题难度:来源:
(1) 若f(x)在处取得极值,求实数a的值;
(2) 在(Ⅰ)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[﹣1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(3) 若存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,求实数a的取值范围.
答案
由题意得,解得a=2,
经检验满足条件.
(2)由(1)知f(x)=﹣x3+2x2﹣4,f"(x)=﹣3x2+4x,
令f"(x)=0,则x1=0,(舍去).
f"(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在(﹣1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴f(x)极小值=f(0)=﹣4,
如图构造f(x)在[﹣1,1]上的图象.
又关于x的方程f(x)=m在[﹣1,1]上恰有两个不同的实数根,
则﹣4<m≦3,即m的取值范围是(﹣4,﹣3].
(3)解法一:因存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,
故只需要f(x)的最大值f(x)max>0即可,
∴f(x)=﹣x3+ax2﹣4,
∴.
①若a≦0,则当x>0时,f"(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减.
∵f(0)=﹣4<0,∴当x>0时,f(x)<﹣4<0,
∴当a≦0时,不存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立.
②当a>0时f(x),f"(x)随x的变化情况如下表:
∴当x∈(0,+∞)时,,
由得a>3.
综上得a>3,即a的取值范围是(3,+∞).
解法二:根据题意,只需要不等式f(x)>0在(0,+∞)上有解即可,
即﹣x3+ax2﹣4>0在(0,+∞)上有解.
即不等式在(0,+∞)上有解即可.
令,只需要a>g(x)min
而,
当且仅当,即x=2时“=”成立.
故a>3,即a的取值范围是(3,+∞)。
核心考点
试题【已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣4.(1) 若f(x)在处取得极值,求实数a的值;(2) 在(Ⅰ)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[﹣1,1]上恰有两个】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.
C.[﹣1,0)∪[3,+∞)
D.
(1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;
(2)设函数f(x)在处有极值
①对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,求b的取值范围;
②若函数f(x)在区间(上单调递增,求实数m的取值范围.
(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;
(Ⅲ) 当a=-1 时,试推断方是否有实数解.
(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;
(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连线斜率为k.求证:必存在x0∈(﹣1,2),使f"(x0)=k.
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