定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f"（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2+2x+2y的最小值是______ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f"（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²+2x+2y的最小值是______

答案

∵f"（x）＜0∴该函数在（0，+∞）上是减函数
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
设c=x²+y²+2x+2y，则（x+1）²+（y+1）²=c+2，表示可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方，也表示一个圆
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（-1，-1）的距离最小
∴(

|-1-1-4|

)2=18=c+2∴c=16
故答案为：16

核心考点

试题【定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f"（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2+2x+2y的最小值是______】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)=

3ex+1

ex+1

+ln(x+

1+x2

)，若f（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值、最小值分别为M，m，则M+m=______．

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设函数f（x）=（ax-1）e^x+（1-a）x+1．
（I）证明：当a=0时，f（x）≤0；
（II）设当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

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设函数f（x）=xln（e^x+1）-

x2+3，x∈[-t，t]（t＞0），若函数f（x）的最大值是M，最小值是m，则M+m=______．

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已知函数f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范围．

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求证：x＞1时，2x³＞x²+1．

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