题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

设抛物线上与点A（6，0）距离最近的点为N，点N的纵坐标与横坐标的差为c。已知函数f（x）=ax³+bx²-3x+c在x=±1处取得极值。
（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点P（0，16）作y=f（x）的切线，求此切线的方程。

答案

解：（1）设N（x，y）为抛物线上一点，则，
|MA|与|MA|²同时取到极值，
令，
由得x=2，
而当+∞或-∞时，，
∴此时x=2，y=2，
即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点N（2，2），
∴c=0，，
∴，
依题意，得，
即，解得：，
∴，
令，得x=1或x=-1；
若，得x>1或x<1；
若，得-1<x<1，
所以在（-∞，-1）上是增函数，在（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，

（2）曲线方程为，点P（0，16）不在曲线上，
设切点Q（x₀，y₀），则点Q的坐标满足，
，
故切线的方程为，
因为点P在切线上，
∴，
化简，得，解得：，
所以，切点为Q（-2，-2），
所以切线的方程为。