设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（I）求f （x）的最小值h（t）；（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：广东省月考题难度：来源：

设函数f（x）=tx²+2t²x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（I）∵f（x）=t（x+t）²﹣t³+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴当x=﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）=﹣t²+t﹣1，即h（t）=﹣t³+t﹣1；
（II）令g（t）=h（t）﹣（﹣2t+m）=﹣t³+3t﹣1﹣m，
由g′（t）=﹣3t²+3=0得
t=1，t=﹣1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1﹣m
h（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1﹣m＜0
所以m的取值范围为m＞1．

核心考点

试题【设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（I）求f （x）的最小值h（t）；（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1时，有极值﹣1，求b、c的值；
（2）当b为非零实数时，f（x）是否存在与直线（b²﹣c）x+y+1=0平行的切线，如果存在，求出切线的方程，如果不存在，说明理由；
（3）设函数f（x）的导函数为f′（x），记函数|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥

．

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设函数f（x）=ln（x+a）+x²

，
（1）若a=

，解关于x不等式

；
（2）证明：关于x的方程2x²+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

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已知函数f（x）=﹣x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=

，试求y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，设f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a∈[

，

]且a为常数，求θ的取值范围．

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已知α，β是三次函数

的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则

的取值范围是 [ ]
A．

B．

C．

D．

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已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②函数y=f（x）是周期函数；
③当x∈[﹣3，﹣2]时，f"（x）≥0；
④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．其中正确表述的番号是（）．

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