已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，其中m∈R．
（I）若m＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=mx3-（3m+2）x2+3mx+4lnx+m+1，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． |
（I）∵f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，
∴f"（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+)]…（2分）
当m＜0时，有1＞1+，
当x变化时，f（x）与f"（x）的变化如下表：
| x | (-∞，1+) | 1+ | (1+，1) | 1 | （1，+∞） | | f"（x） | ＜0 | 0 | ＞0 | 0 | ＜0 | | f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
核心考点
试题【已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，其中m∈R．（I）若m＜0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在（I）的条件下，当x∈[-1，1]时，】；主要考察你对 函数极值与最值等知识点的理解。 [详细]举一反三
| 若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为______． | 已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在t∈N*，使得方程f(x)+=0在区间（t，t+1）内有两个不等的实数根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． | 函数f（x）=x3-3x（|x|＜1）（ ）| A．有最大值，但无最小值 | B．有最大值、最小值 | | C．无最大值、最小值 | D．无最大值，有最小值 |
| 已知a∈R，函数f(x)=+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． | | 奇函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1处有极值，则3a+b+c的值为______． |
|
