题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
①求t的取值范围；
②若a+c=2b²，求t的值．
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．

答案

（1）①f"（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有3个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g"（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点∴

g(-1)＞0 g(3)＜0

∴-8＜t＜24．
②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc
∴

a+b+c=3 ab+ac+bc=-9 t+3=-abc

∴b=1或-

3

2

（舍∵b∈（-1，3））
∴

a=1-2 3 b=1 c=1+2 3

∴t=8

（2）不等式f（x）≤x，即（x³-6x²+3x+t）e^x≤x，即t≤xe^-x-x³+6x²-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e^-x-x²+6x-3，则φ"（x）=-e^-x-2x+6．
设r（x）=φ"（x）=-e^-x-2x+6，则r"（x）=e^-x-2，因为1≤x≤m，有r"（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e^-1＞0，r（2）=2-e^-2＞0，r（3）=-e^-3＜0
故存在x₀∈（2，3），使得r（x₀）=φ"（x₀）=0．
当1≤x＜x₀时，有φ"（x）＞0，当x＞x₀时，有φ"（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间[x₀，+∞）上递减．
又φ（1）=e^-1+4＞0，φ（2）=e^-2+5＞0，φ（3）=e^-3+6＞0，φ（4）=e^-4+5＞0，φ（5）=e^-5+2＞0，φ（6）=e^-6-3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．