题目

题型：福建难度：来源：

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

答案

函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-

a

x

．
（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′(x)=1-

2

x

(x＞0)，
因而f（1）=1，f^′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），
即x+y-2=0
（2）由f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0知：
①当a≤0时，f^′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f^′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f^′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f^′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．