题目

题型：不详难度：来源：

已知曲线y=

2

ex+1

，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线被圆C：x²+y²=4截得的弦长等于（　　）

A． 4 5 5

B． 2 5 5

C． 8 5 5

D． 6 5 5

答案

由题意得，y′=

-2(ex+1)′

(ex+1)2

=

-2ex

(ex+1)2

=

-2

ex+ 1 ex +2

，
∵e^x＞0，∴ex+

1

ex

≥2

ex× 1 ex

=2，当且仅当ex=

1

ex

时取等号，此时x=0，
∴ex+

1

ex

+2≥4，则y′=

-2

ex+ 1 ex +2

≥-

1

2

，当x=0时取等号，
∴当x=0时，曲线的切线斜率取最小值-

1

2

，则切点的坐标（0，1），
∴切线的方程是：y-1=-

1

2

（x-0），即x+2y-2=0，
圆C：x²+y²=4的圆心（0，0）到切线的距离是

|-2|

1+4

=

2 5

5

，
∴切线被圆C：x²+y²=4截得的弦长为2×

22-( 2 5 5 )2

=

8 5

5

，
故选C．