已知函数F(x)=ax-lnx(a>0) (1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值; (2)若当x∈[l,e]时,函数f(x)的最小值是4,求函数f(x)在该区间上的最大值. |
(1)求导函数,可得f′(x)=a-(x>0)…(1分) 由f′(1)=a-1=2,∴a=3…(2分) ∴f(1)=3…(3分) ∴b=f(1)-2×1=1…(4分) (2)定义域为(0,+∞),f′(x)=a-=…(5分) 由f′(x)>0,得x>,f′(x)<0,得0<x< ∴f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)单调递增…(7分) 若≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]单调递增,∴f(x)min=f(1)=a=4,此时f(x)max=f(e)=4e-1…(9分) 若≥e,即0<a≤时,f(x)在[1,e]单调递减,∴f(x)min=f(e)=ae-1=4,∴a=>(不合题意)…(11分) 若1<<e,即<a<1时,f(x)在(1,)单调递减,在(,e)单调递增,∴f(x)min=f()=1+lna=4 此时a=e3(不合题意) 综上知,f(x)max=4e-1…(13分) |
核心考点
试题【已知函数F(x)=ax-lnx(a>0)(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;(2)若当x∈[l,e]时,函数f】;主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lnx- (1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 (2)若函数f(x)在[1,e]上数为最小值为.求实数a的值. |
在平面直角坐标系x0y中,点P在曲线C:y=x3-x上,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则切线方程为______. |
已知函数f(x)=lnx+x2+ax. (I)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数; (II)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围. |
过曲线y=x3+上的点(1,2)的切线方程是( )A.y=2x | B.y=2x+3 | C.y=4x-2 | D.y=2x-3 |
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