题目

题型：不详难度：来源：

设函数 f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程y=3x+2．
（Ⅰ）求函数f（x） 的表达式；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1]都有f（x）＜

m

x

成立，求实数m的取值范围．

答案

（I）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0．                                       （2分）
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f"（x）=3ax²+b，
∴f"（1）=3，且f（1）=5，
∴

3a+b=3 a+b=5

得

a=-1 b=6

．                        （5分）
∴f（x）=-x³+6x…6分
（II）f（x）=-x³+6x，
依题意 -x3+6x≤

m

x

对任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤m对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即  m≥-（x²-3）²+9对任意x∈（0，1]恒成立，
∴m≥5．                                         （9分）
即m的取值范同是（5，+∞）．…12分．