题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求实数a、b的值;
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(3)曲线y=f(x)上存在两点M、N,使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边MN的中点在y轴上,求实数c的取值范围.
答案
因为函数图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0,所以切点坐标为(-2,12),
所以
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(2)由(1)得,当x<1时,f(x)=-x3+x2,
令f′(x)=-3x2+2x=0可得x=0或x=
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
∴x<1时,f(x)的最大值为max{f(-1),f(
2 |
3 |
当1≤x≤2时,f(x)=clnx
当c≤0时,clnx≤0恒成立,f(x)≤0<2,此时f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=2;
当c>0时,f(x)在[-1,2]上单调递增,且f(2)=cln2
令cln2=2,则c=
2 |
ln2 |
2 |
ln2 |
当0<c≤
2 |
ln2 |
综上,当c≤
2 |
ln2 |
2 |
ln2 |
(3)f(x)=
|
根据条件M,N的横坐标互为相反数,不妨设M(-t,t3+t2),N(t,f(t)),(t>0).
若t<1,则f(t)=-t3+t2,
由∠MON是直角得,
OM |
ON |
即t4-t2+1=0.此时无解;
若t≥1,则f(t)=clnt.
由于MN的中点在y轴上,且∠MON是直角,所以N点不可能在x轴上,即t≠1.
同理由
OM |
ON |
1 |
(t+1)lnt |
由于函数g(t)=
1 |
(t+1)lnt |
核心考点
试题【已知函数f(x)=-x3+ax2+bx, (x<1)clnx, (x≥1)的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0.(1)求实】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行,求a的值
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上不单调,求实数a的取值范围;
(3)求所有的实数a,使得f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立.
A.x-y-2=0 | B.x-y+2=0 | C.x+y+2=0 | D.x+y-2=0 |
lim |
n→∞ |
pn2 |
n2 |
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