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题目
题型:不详难度:来源:
设定函数f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.
答案
由得f′(x)=ax2+2bx+c
因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以





a+2b+c-9=0
16a+8b+c-36=0
(*)
(Ⅰ)当a=3时,又由(*)式得





2b+c-6=0
8b+c+12=0

解得b=-3,c=12
又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0
故f(x)=x3-3x2+12x
(Ⅱ)由于a>0,所以“f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d
在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)





a>0
△=9(a-1)(a-9)≤0
得a∈[1,9]
即a的取值范围[1,9]
核心考点
试题【设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=3tx(其中-1<t<1,t为数);.若直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1,l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(1)求y=f(x);
(2)求阴影面积s关于t的函数y=s(t)的解析式;(3)若过点A(1,m),m≠4可作曲线y=s(t),t∈R的三条切线,求实数m的取值范围.
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如图,x=±1是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的两个极值点,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x•f′(x)>0的解集为______.
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lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
=1,则f′(x0)等于(  )
A.2B.-2C.
1
2
D.-
1
2
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已知函数f(x)=x3-x2-x.
(Ⅰ)求函数f(x)在点(2,2)处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的极大值和极小值.
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已知函数y=xlnx
(1)求这个函数的导数;
(2)求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
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