题目

题型：不详难度：来源：

已知函数
（1）若的极值点，求实数a的值；
（2）若上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当有实根，求实数b的最大值。

答案

解：（1）……1分
因为为的极值点，所以
即，解得，又当时，，从而为的极值点成立。…………2分
（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立。…………3分
①当时，在区间上恒成立，在区间上为增函数，符合题意。…………4分
②当时，由函数的定义域可知，必有对成立，
故只能…………5分
故对恒成立
令，其对称轴为
从而要使对恒成立，只要即可…………6分
  解得：
，故
综上所述，实数的取值范围为…………7分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．………………………………8分
以下给出两种求函数值域的方法：
解法一：，令
则…………9分
所以当时，，从而在上为增函数
当时，，从而上为减函数
因此…………10分
而，故…………11分
因此当时，取得最大值………12分
解法二：因为，所以
设，则………9分
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减
因为，故必有，又…10分
因此必存在实数使得
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减………11分
又因为
当时，，则，又
因此当时，取得最大值

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是极值的概念和根据单调区间，求解参数的取值范围，以及利用函数与方程的思想求解参数b的最值。