题目

题型：0103 期中题难度：来源：

函数f(x)=x³-mx²+(m²-4)x，x∈R。
（1）当m=3时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α ，β，且α＜β。若对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）当m=3时，f(x)=x³-3x²+5x，f ′(x)=x²-6x+5，
因为f(2)=，f ′(2)=-3，
所以切点坐标为（2，），切线的斜率为-3．
则所求的切线方程为y-=-3(x-2)，即9x+3y-20=0。
（2）f ′(x)=x²-2mx+(m²-4)，
令f ′(x)=0，得x=m-2或x=m+2，
当x∈（-∞，m-2）时，f ′(x)＞0，f(x)在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f ′(x)＜0，f(x)在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f ′(x)＞0，f(x)在（m+2，+∞）上是增函数；
因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α ，β，且f(x)=x[x²-3mx+3(m²-4)]，
所以，
解得：m∈(-4，-2)∪(-2，2)∪(2，4)，
当m∈(-4，-2)时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0，
此时f(α)=0，f(1)＞f(0)=0，与题意不合，故舍去；
当m∈(-2，2)时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β，
因为对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)为函数f(x)在[α ，β]上的最小值；
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈(2，4)时，0＜m-2＜m+2，所以0<α＜m-2＜m+2＜β，
因为对任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)为函数f(x)在[α ，β]上的最小值，
因为当x=m+2时，函数f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1（舍去），
综上可知，m的取值范围是{-1}。