题目

题型：同步题难度：来源：

（1）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C，
（ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（ⅱ）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（1）（ⅱ）的正确命题，并予以证明。

答案

解：（1）（ⅰ）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=，
当x∈时，f′（x）＞0；
当x∈时，f′（x）＜0；
因此，f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为。
（ⅱ）曲线C在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，
由得x³-x=（3x₁²-1）x-2x₁³，
即（x-x₁）²（x+2x₁）=0，解得x=x₁或x=-2x₁，故x₂=-2x₁，
进而有
，
用x₂代替x₁，重复上述计算过程，
可得x₃=-2x₂和S₂=；
又x₂=-2x₁≠0，
所以，
因此有。

（2）记函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象为曲线C′，
类似于（Ⅰ）（ⅱ）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x₁，曲线C′与其在点P₁（x₁，g（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，g（x₂）），曲线C′与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，g（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S₁，S₂，则为定值．
证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，
故可将曲线y=g（x）的对称中心平移至坐标原点，
因而不妨设g（x）=ax³+hx，且x₁≠0，
类似（1）（ⅱ）的计算可得，
故。