题目
题型:高考真题难度:来源:
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围。
答案
∵f()f(1)=(-)×1<0,
∴f(x)在区间内存在零点,
又当x∈(,1)时,f′(x)=nxn-1+1>0,
∴f(x)在(,1)上单调递增,
∴f(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)由题意知,即
由图象知b+3c在点(0,-2)取到最小值-6,在点(0,0)处取到最大值0,
∴b+3c的最小值为-6,最大值为0。
(3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[-1,1],
有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,等价于在[-1,1]上最大值与最小值之差M≤4,据此分类讨论如下:
(i)当>1,即|b|>2,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾;
(ii)当-1≤-<0,即0<b≤2时,M=f(1)-f(-)=≤4恒成立,
(iii)当0≤-≤1,即-2≤b≤0时,M=f(-1)-f(-)=≤4恒成立,
综上所述,-2≤b≤2。
核心考点
试题【设函数。(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)=cosx,x∈[0,π],试写出f1(x),f2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=x2,x∈[﹣1,4],试判断f(x)是否为[﹣1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k;如果不是,请说明理由;
(3)已知b>0,函数f(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)设,在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)当a≠0时,求f(x)的单调区间.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.
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