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题目
题型:丰台区二模难度:来源:
已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).            …(1分)
f′(x)=
1
x
-2ax+(a-2)=
1-2ax2+(a-2)x
x
=
-(2x-1)(ax+1)
x
.     …(3分)
∵f(x)在x=1处取得极值,
即f"(1)=-(2-1)(a+1)=0,
∴a=-1.                                                         …(5分)
当a=-1时,在(
1
2
,1)
内f"(x)<0,在(1,+∞)内f"(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.                      …(6分)
(Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1.                                             …(7分)f′(x)=
1
x
-2ax+(a-2)=
1-2ax2+(a-2)x
x
=-
(2x-1)(ax+1)
x

∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,
∴f(x)在(0,
1
2
)
上单调递增;在(
1
2
,+∞)
上单调递减,…(9分)
①当0<a≤
1
2
时,f(x)在[a2,a]单调递增,
∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a;                               …(10分)
②当





a>
1
2
a2
1
2
,即
1
2
<a<


2
2
时,f(x)在(a2
1
2
)
单调递增,在(
1
2
,a)
单调递减,
fmax(x)=f(
1
2
)=-ln2-
a
4
+
a-2
2
=
a
4
-1-ln2
;                    …(11分)
③当
1
2
a2
,即


2
2
≤a<1
时,f(x)在[a2,a]单调递减,
∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.                            …(12分)
综上所述,当0<a≤
1
2
时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;
1
2
<a<


2
2
时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是
a
4
-1-ln2

a≥


2
2
时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2
…(13分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与x-3y=0垂直,又f(x)在[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是(  )
A.(-∞,-3]B.[0,+∞)C.(-∞,-3)∪(0,+∞)D.(-∞,-3]∪[0,+∞)
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已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:e2x2-
题型:怀化三模难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:柳州三模难度:| 查看答案
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5
2
设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若a=1,证明:x∈(0,5)时,f(x)<
9x
x+1
成立.
已知函数f(x)=mx3-x2+nx+13(m、n∈R).
(1)若函数f(x)在x=-2与x=1时取得极值,求m、n的值;
(2)当m=n=0时,若f(x)在闭区间[a,b](a<b)上有最小值4a,最大值4b,求区间[a,b].
若函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是(  )
A.(0,2)B.(1,3)C.(-4,-2)D.(-3,-1)