已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x. (Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (Ⅱ)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值. |
(Ⅰ)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞). …(1分) ∴f′(x)=-2ax+(a-2)==. …(3分) ∵f(x)在x=1处取得极值, 即f"(1)=-(2-1)(a+1)=0, ∴a=-1. …(5分) 当a=-1时,在(,1)内f"(x)<0,在(1,+∞)内f"(x)>0, ∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1. …(6分) (Ⅱ)∵a2<a,∴0<a<1. …(7分)f′(x)=-2ax+(a-2)==- ∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0, ∴f(x)在(0,)上单调递增;在(,+∞)上单调递减,…(9分) ①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]单调递增, ∴fmax(x)=f(a)=lna-a3+a2-2a; …(10分) ②当,即<a<时,f(x)在(a2,)单调递增,在(,a)单调递减, ∴fmax(x)=f()=-ln2-+=-1-ln2; …(11分) ③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]单调递减, ∴fmax(x)=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2. …(12分) 综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a; 当<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2; 当a≥时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2. …(13分) |
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.】;主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与x-3y=0垂直,又f(x)在[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是( )A.(-∞,-3] | B.[0,+∞) | C.(-∞,-3)∪(0,+∞) | D.(-∞,-3]∪[0,+∞) |
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已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R. (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由; (3)当x∈(0,e]时,证明:e2x2-5 | 2 | 设f(x)=ln(x+1)+ax,(a∈R且a≠0). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若a=1,证明:x∈(0,5)时,f(x)<成立. | 已知函数f(x)=mx3-x2+nx+13(m、n∈R). (1)若函数f(x)在x=-2与x=1时取得极值,求m、n的值; (2)当m=n=0时,若f(x)在闭区间[a,b](a<b)上有最小值4a,最大值4b,求区间[a,b]. | 若函数f(x)的导函数f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是( )A.(0,2) | B.(1,3) | C.(-4,-2) | D.(-3,-1) |
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